maxim_arnold: (Default)
maxim_arnold ([personal profile] maxim_arnold) wrote2010-09-06 12:00 pm
Entry tags:

(no subject)

В узких кругах высоколобых товарищей одно время была широко распространена игра SETS. Уже не столь широкое распространение приобрела информация о том, что цель этой захватывающей игры состоит в нахождении прямых в четырехмерном пространстве.

Попробую пояснить это замечание на простом примере.  Рассмотрим пока что такую разновидность игры, в которой каждая карта из набора обладала бы только двумя признаками (вместо четырех, как в настоящей игре). Для определенности положим, что такими признаками являются цвет (красный, синий или зеленый) и количество (один, два или три). Тогда, как нетрудно заметить, карт в колоде должно быть только девять и все их можно расположить в виде следующего квадрата:
1 2 3
1 2 3
1 2 3

Теперь нам осталось лишь немного включить воображение и попробовать склеить противоположные стороны этого квадрата. Я же, для наглядности, приведу такую картинку:

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3


После такого разъяснения, я надеюсь, даже утомленному восьмичасовым рабочим днем, человеку, не составит большого труда догадаться, что любой набор, удовлетворяющий правилам игры, на нашем рисунке будет выглядеть прямой линией. Я нарисую только один такой пример.

1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3


Осталось лишь добавить еще два измерения и превратить двумерную картинку в четырехмерную. Если перевести правила игры на алгебраический язык, суть игры заключается в поиске таких троек элементов пространства Z34, сумма которых сравнима с нулем.

В некоторый момент у нас возникла идея найти максимальное множество карт (точек), не содержащее ни одного SET'а. На примере с квадратиком, нетрудно заметить, что такое множество не может состоять более, чем из четырех элементов.

Основной специалист по этой задаче недавно рассказал мне, что в Z3d мощность такого множества находится в пределах от (2.75)d до (3/d)d.

Но, конечно, еще остаются неотвеченными такие вопросы:

1. Сколько точек общего положения надо взять, чтобы с вероятностью > 0.9 прямая нашлась?

2. Сколько прямых в среднем проходит через 12 точек четырехмерного тора?

3. Как меняется рост числа прямых с ростом количества точек?

4. Какие еще вопросы могут прийти в голову во время столь безобидной игры?

[identity profile] vnovik91.livejournal.com 2010-09-06 10:35 am (UTC)(link)
кстати, кто-нибудь знает где эту игру в Мск купить? Давно хотел уже, но не знаю где.

[identity profile] grieg.livejournal.com 2010-09-06 07:01 pm (UTC)(link)
Я был готов к этому посту!

[identity profile] winzig-feen.livejournal.com 2010-10-17 08:59 pm (UTC)(link)
Это ведь похоже на сет - http://logical-games.org/ - верно?

[identity profile] maxim-arnold.livejournal.com 2011-01-27 01:04 am (UTC)(link)
Конечно, похоже. Только я же привел оригинальную ссылку?