(no subject)
Sep. 6th, 2010 12:00 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
maxim_arnoldВ узких кругах высоколобых товарищей одно время была широко распространена игра SETS. Уже не столь широкое распространение приобрела информация о том, что цель этой захватывающей игры состоит в нахождении прямых в четырехмерном пространстве.
Попробую пояснить это замечание на простом примере. Рассмотрим пока что такую разновидность игры, в которой каждая карта из набора обладала бы только двумя признаками (вместо четырех, как в настоящей игре). Для определенности положим, что такими признаками являются цвет (красный, синий или зеленый) и количество (один, два или три). Тогда, как нетрудно заметить, карт в колоде должно быть только девять и все их можно расположить в виде следующего квадрата:
Теперь нам осталось лишь немного включить воображение и попробовать склеить противоположные стороны этого квадрата. Я же, для наглядности, приведу такую картинку:
После такого разъяснения, я надеюсь, даже утомленному восьмичасовым рабочим днем, человеку, не составит большого труда догадаться, что любой набор, удовлетворяющий правилам игры, на нашем рисунке будет выглядеть прямой линией. Я нарисую только один такой пример.
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
Осталось лишь добавить еще два измерения и превратить двумерную картинку в четырехмерную. Если перевести правила игры на алгебраический язык, суть игры заключается в поиске таких троек элементов пространства Z34, сумма которых сравнима с нулем.
В некоторый момент у нас возникла идея найти максимальное множество карт (точек), не содержащее ни одного SET'а. На примере с квадратиком, нетрудно заметить, что такое множество не может состоять более, чем из четырех элементов.
Основной специалист по этой задаче недавно рассказал мне, что в Z3d мощность такого множества находится в пределах от (2.75)d до (3/d)d.
Но, конечно, еще остаются неотвеченными такие вопросы:
1. Сколько точек общего положения надо взять, чтобы с вероятностью > 0.9 прямая нашлась?
2. Сколько прямых в среднем проходит через 12 точек четырехмерного тора?
3. Как меняется рост числа прямых с ростом количества точек?
4. Какие еще вопросы могут прийти в голову во время столь безобидной игры?
Попробую пояснить это замечание на простом примере. Рассмотрим пока что такую разновидность игры, в которой каждая карта из набора обладала бы только двумя признаками (вместо четырех, как в настоящей игре). Для определенности положим, что такими признаками являются цвет (красный, синий или зеленый) и количество (один, два или три). Тогда, как нетрудно заметить, карт в колоде должно быть только девять и все их можно расположить в виде следующего квадрата:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Теперь нам осталось лишь немного включить воображение и попробовать склеить противоположные стороны этого квадрата. Я же, для наглядности, приведу такую картинку:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
После такого разъяснения, я надеюсь, даже утомленному восьмичасовым рабочим днем, человеку, не составит большого труда догадаться, что любой набор, удовлетворяющий правилам игры, на нашем рисунке будет выглядеть прямой линией. Я нарисую только один такой пример.
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
Осталось лишь добавить еще два измерения и превратить двумерную картинку в четырехмерную. Если перевести правила игры на алгебраический язык, суть игры заключается в поиске таких троек элементов пространства Z34, сумма которых сравнима с нулем.
В некоторый момент у нас возникла идея найти максимальное множество карт (точек), не содержащее ни одного SET'а. На примере с квадратиком, нетрудно заметить, что такое множество не может состоять более, чем из четырех элементов.
Основной специалист по этой задаче недавно рассказал мне, что в Z3d мощность такого множества находится в пределах от (2.75)d до (3/d)d.
Но, конечно, еще остаются неотвеченными такие вопросы:
1. Сколько точек общего положения надо взять, чтобы с вероятностью > 0.9 прямая нашлась?
2. Сколько прямых в среднем проходит через 12 точек четырехмерного тора?
3. Как меняется рост числа прямых с ростом количества точек?
4. Какие еще вопросы могут прийти в голову во время столь безобидной игры?
